Question

4．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=AD=2，PA=BC=4，M是PD的中点．
（1）求证：平面AMC⊥平面PAB；
（2）求四面体P-MAB的体积．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，过A作BC的垂线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法得到$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，由此能证明平面AMC⊥平面PAB．
（2）求出M到平面PAB的距离，利用三棱锥的体积公式，即可求四面体P-MAB的体积．

解答 （1）证明：以A为原点，过A作BC的垂线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得A（0，0，0），P（0，0，4），B（$\sqrt{3}$，-1，0），C（$\sqrt{3}$，3，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，4），$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，3，0），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3-3+0=0，
∴$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，∴AP⊥AC，AB⊥AC，
∵AB∩AP=P，∴AC⊥平面PAB，
∵AC?平面AMC，∴平面AMC⊥平面PAB．
（2）解：设D到平面PAB的距离为ADsin60°=$\sqrt{3}$，
∴M到平面PAB的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴四面体P-MAB的体积V=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}AB•PA•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查四面体P-MAB的体积，是中档题，正确运用向量法是关键．