Question

已知函数f（x）=-x²+2ax-3a．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在（-∞，1）上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当函数f（x）在[1，2]上的最大值为4时，求实数a的值．

Answer 1

分析：（I）根据二次函数的图象和性质，可得函数f（x）=-x²+2ax-3a的图象开口朝下，对称轴为直线x=a，由函数y=f（x）在（-∞，1）上是增函数，可得区间（-∞，1）完全在对称轴的左边，进而可得实数a的取值范围；
（Ⅱ）分当a≤1时，当1＜a＜2时，和当a≥2时三种情况，结合函数f（x）在[1，2]上的最大值为4及二次函数的图象和性质，分类讨论满足条件的a值，最后综合讨论结果，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f（x）=-x²+2ax-3a=-（x-a）²+a²-3a．          …（1分）
∴函数f（x）=-x²+2ax-3a的图象是开口朝下，且对称轴为直线x=a的抛物线，
因为函数y=f（x）在（-∞，1）上是增函数，
所以a≥1．
故实数a的取值范围是[1，+∞）．                            …（4分）
（Ⅱ）①当a≤1时，函数y=f（x）在[1，2]上是减函数，
于是，y_max=f（1）=-a-1=4．
所以a=-5，符合题意．                              …（5分）
②当1＜a＜2时，函数y=f（x）在[1，a]上是增函数，在（a，2]上是减函数，
于是，ymax=f(a)=a2-3a=4．
所以a=-1或4，舍去．                              …（6分）
③当a≥2时，函数y=f（x）在[1，2]上是增函数，
于是，y_max=f（2）=a-4=4．
所以a=8，符合题意．                               …（7分）
综上所述，实数a的值为-5或8．                           …（8分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．