Question

抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线对称轴上，过可作直线交抛物线于点、，使得，则的取值范围是      ．

Answer 1

试题分析：由题意可得A（0，-2），直线MN的斜率k存在且k≠0，
设直线MN的方程为y=kx-2，联立方程组，得x²-8kx+16=0，
设M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中点E（x₀，y₀），
则△=64k²-64＞0，即k²＞1，
x₁+x₂=8k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-4+8k²，
∴x₀=4k，y₀=-2+4k²即E（4k，-2+4k²）．
∵，
∴，即，而，
∴BE⊥MN即点B在MN的垂直平分线上，
∵MN的斜率为k，E（4k，-2+4k²）．
∴MN的垂直平分线BE的方程为：y-4k²+2=-（x-4k），与y轴的交点即是B，
令x=0可得，y=2+4k²，
则||=2+4k²＞6．
故答案为（6，+∞）．
点评：中档题，本题主要考查了平面向量的线性运算、数量积，直线与抛物线的位置关系。在研究过程中运用方程的根与系数关系，使问题得到简化。