Question

7．已知x+2y=2，则$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$+y的最小值为$\frac{\sqrt{155}}{10}$．

Answer 1

分析 由x+2y=2，可得x=2-2y，代入所求式子，配方结合二次函数的最值的求法，即可得到所求最小值．

解答 解：由x+2y=2，可得x=2-2y，
则$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+y}$=$\sqrt{（2-2y）^{2}+{y}^{2}+y}$
=$\sqrt{5{y}^{2}-7y+4}$=$\sqrt{5（y-\frac{7}{10}）^{2}+\frac{31}{20}}$，
当y=$\frac{7}{10}$，x=$\frac{3}{5}$时，取得最小值，且为$\frac{\sqrt{155}}{10}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{155}}{10}$．

点评 本题考查最值的求法，注意运用代入法和配方法，运用二次函数的最值求法，属于基础题．