Question

9．在△ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，已知$\overrightarrow{m}$=（b，2a-c），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosC），$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$
（1）求B；
（2）设f（x）=cos（ωx-$\frac{B}{2}$）+sinωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）运用向量共线的坐标表示和正弦定理，结合两角和的正弦公式及诱导公式，可得角B；
（2）运用两角和差的余弦公式和正弦公式，化简f（x），再由周期公式和正弦函数的单调区间，即可得到所求．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{m}$=（b，2a-c），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosC），$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
可得bcosC=（2a-c）cosB，
即bcosC+ccosB=2acosB，
由正弦定理，可得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
sin（B+C）=2sinAcosB，
即sinA=2sinAcosB，即cosB=$\frac{1}{2}$，
由B为三角形的内角，可得B=$\frac{π}{3}$；
（2）f（x）=cos（ωx-$\frac{B}{2}$）+sinωx（ω＞0）
=cos（ωx-$\frac{π}{6}$）+sinωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx+$\frac{3}{2}$sinωx=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
由题意可得T=$\frac{2π}{ω}$=π，
解得ω=2，
即有f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z．

点评 本题考查向量共线的坐标表示，正弦定理和三角函数的化简，同时考查正弦函数的周期和单调区间，属于中档题．