Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，短轴两端点B₁、B₂，已知F₁、F₂、B₁、B₂四点共圆，且点（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5

2

，则此椭圆的方程是（　　）

• A．

  x2

  32

  +

  y2

  16

  =1
• B．

  x2

  64

  +

  y2

  16

  =1
• C．

  x2

  2(5 2 -3)2

  +

  y2

  (5 2 -3)2

  =1
• D．

  x2

  16

  +

  y2

  8

  =1

Answer 1

分析：由F₁、F₂、B₁、B₂四点共圆，得出b=c，进而得到a²=b²+c²=2b²，再设椭圆的方程（含参数b），设H（x，y）为椭圆上一点，化简点（0，3）到椭圆上的点的距离，利用其最大值，分类讨论求出参数b的值，即得椭圆的方程．

解答：解：∵F₁、F₂、B₁、B₂四点共圆，∴b=c，
∴a²=b²+c²=2b²，
设椭圆的方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，N（0，3），
设H（x，y）为椭圆上一点，则|HN|²=x²+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，（-b≤y≤b），
①若0＜b＜3，|HN|²的最大值b²+6b+9=50得   b=-3±5

2

 （舍去），
②若b≥3，|HN|²的最大值2b²+18=50得b²=16，
∴所求的椭圆的方程为：

x2

32

+

y2

16

=1．
故选A．

点评：本题考查椭圆的性质及其应用、函数最值的求法等，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．