Question

已知复数z=3+ai，且|z-2|＜2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：解法一：利用模的定义，从两个已知条件中消去z，再由得数的模的公式转化为转化a的不等式，解出a的取值范围；
解法二：利用复数的几何意义，由条件|z-2|＜2可知，z在复平面内对应的点z在以（2，0）为圆心，2为半径的圆内（不包括边界），由z=3+ai可知z对应的点Z在直线x=3上，由得数的几何意义得出复数z=3+ai对应的点的轨迹，由图形得出参数a的取值范围

解答：解：解法一：
利用模的定义，从两个已知条件中消去z．
∵z=3+ai（a∈R），由|z-2|＜2，得|3+ai-2|＜2，即|1+ai|＜2，
解得-

3

＜a＜

3

．
解法二：
利用复数的几何意义，由条件|z-2|＜2可知，z在复平面内对应的点z在以（2，0）为圆心，2为半径的圆内（不包括边界），由z=3+ai可知z对应的点Z在直线x=3上，所以线段AB（除去端点）为动点Z的集合．由图可知-

3

＜a＜

3

．

点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，解题的关键是理解复数的代数形式及其几何意义，将问题转化不等式求解或将问题转化为图象利用几何关系求解，本题考查了转化的思想，数形结合的思想，是复数中较为典型的题，