Question

某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km其中曲线段AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分．分别以直线AB，AD为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线段AF所在抛物线的方程；
（2）设点P的横坐标为x，高科技工业园区的面积为S．试求S关于x的函数表达式，并求出工业园区面积S的最大值．

Answer 1

分析：（1）设抛物线方程：y=ax²（a＞0），由F（2，4）代入得a=1，由此能求出抛物线方程．
（2）设P（x，x²），Q（0，x²）直线CE方程：y=x+4，所以R（x，x+4）PQ=x，QE=4-x²，PR=x+4-x²，面积S=

1

2

x(-2x2+x+8)=-x3+

1

2

x2+4x，定义域：x∈（0，2），利用导数能求出S的最大值．

解答：解：（1）设抛物线方程：y=ax²（a＞0），由F（2，4）代入得a=1，
所以抛物线方程为y=x²
（2）设P（x，x²），Q（0，x²）
直线CE方程：y=x+4，
所以R（x，x+4）PQ=x，QE=4-x²，PR=x+4-x²
面积S=

1

2

x(-2x2+x+8)=-x3+

1

2

x2+4x，
定义域：x∈（0，2），
求导S′=-3x²+x+4=-（3x-4）（x+1），
又x∈（0，2），由S′=0得：x=

4

3

S′先正后负，S先增后减，
所以，x=

4

3

时，S取最大值

104

27

．

点评：本题考查曲线方程的求法和工业园区面积的最大值．解题时要认真审题，仔细分析题设中的数量关系，合理地建立方程，利用导数求面积的最大值．