Question

【题目】已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．
（1）若a=0时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：若a=0时，f（x）=x2﹣lnx的导数为f′（x）=2x﹣ ，

函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=2﹣1=1，切点为（1，1），

则有切线方程为y﹣1=x﹣1，即为x﹣y=0

（2）解：∵函数f（x）在[1，2]内是减函数，

∴f'（x）= ≤0在[1，2]上恒成立，

令h（x）=2x2+ax﹣1，有 得 ，

∴a≤﹣

【解析】（1）求出a=0时函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．