Question

曲线C是平面内与两个定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离的积等于常数a²（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F₁PF₂的面积不大于a²．
其中，所有正确结论的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意曲线C是平面内与两个定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离的积等于常数a²（a＞1），利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．
解答：解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：?[（x+1）²+y²]•[（x-1）²+y²]=a⁴（1）将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；
对于②，把方程中的x被-x代换，y被-y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；
对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F₁PF₂的面积，
由（1）式平方化简的：y⁴+[（x+1）²+（x-1）²]y²+（x²-1）²-a⁴=0⇒（舍）  
把三角形的面积式子平方得： 对于（2）
 令⇒
代入（2）得=≤，
故可知a² 所以③正确．
故答案为：②③
点评：此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．