【题目】已知椭圆的左顶点为,焦距为2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线与椭圆的另一个交点为点,与圆的另一个交点为点,是否存在直线使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1).(2)直线不存在.见解析
【解析】
(1)据题意有,,则通过计算可得椭圆的标准方程;
(2)可先假设直线存在,可设直线的斜率为,则直线.根据及圆的性质可知垂直平分.再根据点到直线的距离公式可得的关于的表达式,再解可得的关于的表达式.然后联立直线与椭圆方程,消去整理可得一元二次方程,根据韦达定理有,.根据弦长公式可得的关于的另一个表达式.根据存在性则两个表达式相等,如果值存在则直线存在;如果没有值则直线不存在.
(1)由题意,可知,.则,.
椭圆的标准方程为.
(2)由题意,假设存在直线使得,可设直线的斜率为.
则直线.
,即点为线段中点,
根据圆的性质,可知,且平分.
根据题意画图如下:
则.
在中,.
联立直线与椭圆方程,可得:
,
消去,整理得.
则△.
,.
.
,整理,得.很明显矛盾,
故直线不存在.
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【题目】已知直线与抛物线交于不同的两点,为抛物线的焦点,为坐标原点,是的重心,直线恒过点.
(1)若,求直线斜率的取值范围;
(2)若是半椭圆上的动点,直线与抛物线交于不同的两点,.当时,求△面积的取值范围.
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【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PD⊥平面ABCD,BD=CD,E,F分别为BC,PD的中点.
(1)求证:EF∥平面PAB;
(2)求证:平面PBC⊥平面EFD.
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【题目】某地种植常规稻A和杂交稻B,常规稻A的亩产稳定为500公斤,今年单价为3.50元/公斤,估计明年单价不变的可能性为10%,变为3.60元/公斤的可能性为60%,变为3.70元/公斤的可能性为30%.统计杂交稻B的亩产数据,得到亩产的频率分布直方图如下;统计近10年来杂交稻B的单价(单位:元/公斤)与种植亩数(单位:万亩)的关系,得到的10组数据记为,并得到散点图如下,参考数据见下.
(1)估计明年常规稻A的单价平均值;
(2)在频率分布直方图中,各组的取值按中间值来计算,求杂交稻B的亩产平均值;以频率作为概率,预计将来三年中至少有二年,杂交稻B的亩产超过765公斤的概率;
(3)判断杂交稻B的单价y(单位:元/公斤)与种植亩数x(单位:万亩)是否线性相关?若相关,试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程;调查得知明年此地杂交稻B的种植亩数预计为2万亩.若在常规稻A和杂交稻B中选择,明年种植哪种水稻收入更高?
统计参考数据:,,,,
附:线性回归方程,.
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【题目】如图,已知点F为抛物线C:()的焦点,过点F的动直线l与抛物线C交于M,N两点,且当直线l的倾斜角为45°时,.
(1)求抛物线C的方程.
(2)试确定在x轴上是否存在点P,使得直线PM,PN关于x轴对称?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在三棱锥A﹣BCD中,△ABD和△ACD是边长为2的等边三角形,,O、E分别是BC、AC的中点.
(1)求证:OE∥平面ABD;
(2)求证:平面ABC⊥平面BCD;
(3)求三棱锥A﹣BCD的表面积.
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【题目】某控制器中有一个易损部件,该部件由两个电子元件按图1方式连接而成.已知这两个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布,且各个元件能否正常工作相互独立.(一个月按30天算)
(1)求该部件的使用寿命达到一个月及以上的概率;
(2)为了保证该控制器能稳定工作,将若干个同样的部件按图2连接在一起组成集成块.每一个部件是否能正常工作相互独立.某开发商准备大批量生产该集成块,在投入生产前,进行了市场调查,结果如下表:
集成块类型 | 成本 | 销售金额 | |
Ⅰ | |||
Ⅱ | |||
Ⅲ |
其中是集成块使用寿命达到一个月及以上的概率,为集成块使用的部件个数.报据市场调查,试分析集成块使用的部件个数为多少时,开发商所得利润最大?并说明理由.
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【题目】已知函数,下列命题:
①的定义域为;
②是奇函数;
③在上单调递增;
④若实数满足,则;
⑤设函数在上的最大值为,最小值为,则.
其中真命题的序号是______.(写出所有真命题的序号)
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