Question

设函数f（x）=a•b，其中向量a=（2cosx，1），b=（cosx，-sin2x），x∈R．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）若x∈[-，0]，求函数f（x）的值域；
（3）若函数y=f（x）的图象按向量c=（m，n）（|m|＜）平移后得到函数y=2sin2x的图象，求实数m、n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据向量的数量积，然后利用两角和与差的正弦函数公式得到f（x），然后找出正弦函数的单调减区间为[2kπ+，2kπ+]，解出x的范围即可得到f（x）的单调减区间；
（2）由x的范围求出2x+的范围，利用正弦函数的图象得到f（x）的值域；
（3）函数按向量c=（m，n）（|m|＜）平移后函数的解析式设为y=f（x-m）+n=2sin（2x-2m-）+1+n．对应项相等得到m与n的值．
解答：解：（1）因为f（x）=2cos²x-sin2x=-sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1．
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z．
因此，函数f（x）的单调减区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）．

（2）当x∈[-，0]时，2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[，1]，因此，函数f（x）的值域为[2，3]．

（3）函数y=f（x）的图象按向量c=（m，n）（|m|＜）
平移后得到的图象对应的函数是y=f（x-m）+n=2sin（2x-2m-）+1+n．
令-2m+=2kπ，k∈Z，1+n=0，得m=-kπ+，n=-1．又|m|＜，故m=．
点评：考查学生灵活运用两角和与差的正弦函数公式进行化简求值，会进行平面向量的数量积运算，会求符合函数的单调区间．考查学生熟悉正弦函数的图象与性质．