Question

点A从坐标原点出发，每次等可能地或向右、或向左、或向上、或向下平移一个单位．经过4次平移后，点A的坐标是（x，y），此事件发生的概率是p（x，y）．
（1）求p（4，0）和p（3，1）；
（2）求p（2，0）和p（1，1）；
（3）当点A的坐标是（x，y）时，随机变量ξ表示获得64（|x|+|y|）元的奖金，求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（1）设点A向右、向左、向上、向下平移的次数分别是i、j、k、l（i、j、k、l∈N，i+j+k+l=4），由（x，y）=（i-j，k-l）=（4，0），可得i、j、k、l的值，可得概率，同理可得p（3，1）；（2）同（1）的求解，结合概率的加法公式可得；（3）同上求得p（2，2），代入期望的公式，计算可得．

解答：解：（1）设点A向右、向左、向上、向下平移的次数分别是i、j、k、l（i、j、k、l∈N，i+j+k+l=4）．
∵（x，y）=（i-j，k-l）=（4，0），
故i-j=4，k-l=0，可得i=4，j=0，k=0，l=0，
∴p（4，0）=

1

44

=

1

256

．
∵（x，y）=（i-j，k-l）=（3，1）
故i-j=3，k-l=1，可得i=3，j=0，k=1，l=0，
∴p（3，1）=

C 1 4

44

=

1

64

．
（2）∵（x，y）=（i-j，k-l）=（2，0）
故i-j=2，k-l=0，可得i=3，j=1，k=0，l=0，或i=2，j=0，k=1，l=1
∴p（2，0）=

C 1 4

44

+

P 2 4

44

=

1

16

．
∵（x，y）=（i-j，k-l）=（1，1）
故i-j=1，k-l=1，可得i=2，j=1，k=1，l=0，或i=1，j=0，k=2，l=1
∴p（1，1）=

P 2 4

44

+

P 2 4

44

=

3

32

．
（3）∵（x，y）=（i-j，k-l）=（2，2）
故i-j=2，k-l=2，可得i=2，j=0，k=2，l=0，
∴p（2，2）=

C 2 4

44

=

3

128

．
Eξ=0×p ( 0 ， 0 )+128×4×

1

16

+128×4×

3

32

+256×4×

1

256

+256×8×

1

64

+256×4×

3

128

=140．

点评：本题考查离散型随机变量的数学期望，涉及等可能事件的概率的求解，属中档题．