Question

已知命题P：方程x²-2mx+m=0没有实数根；命题Q：对于任意的x∈R，都有x²+mx+1≥0．
（1）写出命题Q的否定“￢Q”；
（2）如果P或Q 为真命题，P且Q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,命题的否定

专题：简易逻辑

分析：（1）利用命题的否定即可得出；
（2）对于命题P：方程x²-2mx+m=0没有实数根，则△＜0，解得m范围．对于命题Q：对于任意的x∈R，都有x²+mx+1≥0．则△₁≤0．由于P或Q 为真命题，P且Q为假命题，可得P，Q两命题应一真一假，即P真Q假或P假Q真．

解答： 解：（1）￢Q：?x∈R，x²+mx+1＜0．
（2）对于命题P：方程x²-2mx+m=0没有实数根，则△=4m²-4m＜0，解得0＜m＜1．
   对于命题Q：对于任意的x∈R，都有x²+mx+1≥0．则△₁=m²-4≤0，解得-2≤m≤2．
∵P或Q 为真命题，P且Q为假命题，
∴P，Q两命题应一真一假，即P真Q假或P假Q真．
则

0＜m＜1 m＞2或m＜-2

或

m≤0或m≥1 -2≤m≤2

，
解得-2≤m≤0或1≤m≤2．

点评：本题考查了一元二次不等式及其方程与判别式的关系、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．