Question

【题目】如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.

（1）证明：PC⊥平面BOH；

（2）若，求二面角A-BH-O的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）先证明平面，得到，结合已知，证得平面.（2）以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，

∴ BO⊥AC，

又平面PAC⊥平面ABC，

且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，

∴ BO⊥平面PAC，

∴ BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH＝O，

∴ PC⊥平面BOH；

（2）易知PO⊥AC，又BO⊥平面PAC，

如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立空间直角

坐标系O - xyz，由易知，OC＝2，

，，

∴ ，，，，

，，，

设平面ABH的法向量为，

则， ∴，取x=2，得，

由（1）知是平面BHO的法向量，易知，

设二面角A-BH-O的大小为，显然为锐角，

则 ，

∴ 二面角A-BH-O的余弦值为．