Question

已知命题p：f（x）=x²-4mx+4m²+2在区间[-1，3]上的最小值等于2；命题q：不等式|x|+|x-1|≥m对任意x∈R恒成立．如果上述两个命题中有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：两个命题中有且仅有一个是真命题，分别求出使p真q假，p假q真的m的取值范围．

解答：解：∵f（x）=x²-4mx+4m²+2=（x-2m）²+2在区间[-1，3]上的最小值等于2
∴-1≤2m≤3
即命题p等价于-

1

2

≤m≤

3

2

，记A=[-

1

2

，

3

2

]；（4分）
∵（|x|+|x-1|）_min=1，又不等式|x|+|x-1|≥m对任意x∈R恒成立
∴m≤1，记B=（-∞，1]．（8分）
因此所求的m的范围为[A∩（C_RB）]∪[B∩（C_RA）]=(1，

3

2

]∪(-∞，-

1

2

)．（12分）

点评：本题考查符合命题真假成立的条件，一般化为简单命题的真假去解决．考查逻辑思维、计算能力．