Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n-n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，求数列{

1

anan+1

}的前n项和S_n；
（Ⅱ）证明：数列{a_n+2}不可能是等比数列．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由数列{a_n}是等差数列和已知a_n+1=2a_n-n+1（n∈N^*）求出数列的通项公式，求出

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，代入求出和．
（Ⅱ）证明：假设数列{a_n+2}是等比数列，求出数列{a_n+2}的前4项为4，6，9，14，它显然不是等比数列，

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}是等差数列，设其首项为a₁，公差为d，则a_n+1=a_n+d
∴由已知可得：a_n+d=2a_n-n+1；
a_n+d=a₁+（n-1）d  即a_n=n+d-1
又 a_n=a₁+（n-1）d
∴a₁=1，d=1   可得：a_n=n
∴

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴S_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

n

n+1

（Ⅱ）证明：数列{a_n+2}是等比数列，
则(a2+2)2=(a1+2)(a3+2)
即∴a₁=2，a₂=4，a₃=7，a₄=12
于是数列{a_n+2}的前4项为4，6，9，14，
它显然不是等比数列，
数列{a_n+2}不可能是等比数列．

点评：本题考查数列求和的方法关键是求出通项，观察通项的特点，选择合适的求和方法，属于中档题．