Question

设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1-a_n=3×2^2n-1，数列{b_n}满足b_n=log₂a_n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列{

1

bnbn+1

}的前n项和为T_n，若t≥T_n对任意的n∈N₊恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由已知的数列递推式直接利用累加法求数列的通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=log₂a_n，然后利用裂项相消法求出数列{

1

bnbn+1

}的前n项和为T_n，由单调性求得

n

2n+1

＜

n

2n

=

1

2

，则t≥T_n对任意的n∈N₊恒成立的t的取值范围可求．

解答： 解：（1）由已知，当n≥1时
a_n+1=[（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）]+a₁+a₁
=3（2^2n-1+2^2n-3+…+2）+2=3×

2(1-4n)

1-4

+2=2^2（n+1）-1．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2^2n-1；
（2）b_n=log₂a_n=log222n-1=2n-1．

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1

]，
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
∵函数y=

x

2x+1

在（0，+∞）上为增函数，
且

n

2n+1

＜

n

2n

=

1

2

．
∴若t≥T_n对任意的n∈N₊恒成立，
则t≥

1

2

．

点评：本题考查了累加法求数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，考查了数列的函数特性，是中档题．