Question

已知向量

m

=(

3

sinx+cosx，1)，

n

=(

1

2

f(x)，cosx)，

m

∥

n

．
（I）求f（x）的单调增区间及在[-

π

6

，

π

4

]内的值域；
（II）已知A为△ABC的内角，若f(

A

2

)=1+

3

，a=1，b=

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：由

m

∥

n

，根据向量平行的坐标表示整理可求f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1
（1）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可求函数的单调增区间，由所求函数的单调递增区间可求函数在[-

π

6

，

π

4

]单调性，进而可求函数的值域
（2）由题f（

1

2

A）=1+

3

及a＜b可求A，然后由正弦定理可得，sinB=

bsinA

a

可求B，进而可求C，代入三角形的面积公式S_△ABC=

1

2

absinC可求

解答：解：∵

m

∥

n

∴(

3

sinx+cosx)cosx-

1

2

f(x)=0
∴f（x）=2

3

sinxcosx+2cos2x=

3

sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1
（1）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
∴f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]k∈Z
由所求函数的单调递增区间可知，函数在[-

π

6

，

π

4

]单调递增
∴0≤f(x)≤

3

+1
（2）由题意可得，f（

1

2

A）=2sin（A+

π

6

）+1=1+

3

∴sin（A+

π

6

）=

3

2

∵A∈（0，π）
∴A+

π

6

∈(

π

6

，

7π

6

)
∴A+

π

6

=

π

3

或

2π

3

∴A=

π

6

或

π

2

∵a=1＜b=

2

∴A=

1

2

π不合题意
当A=

π

6

时，由正弦定理可得，sinB=

bsinA

a

=

2 × 1 2

1

=

2

2

∵a＜b
∴A＜B
∴B=

π

4

或

3π

4

当A=

π

6

，B=

π

4

时，C=

7π

12

，此时S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×1×

2

sin

7π

12

=

2

×

2 + 6

4

=

3 +1

2

当A=

π

6

，B=

3π

4

时，C=

π

12

，此时S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×1×

2

sin

π

12

=

2

×

6 - 2

4

=

3 -1

2

点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示的应用，三角函数的辅助角公式及正弦函数的性质、三角形的面积公式等知识的综合应用，具有一定的 综合性