Question

13．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为$\frac{{a}^{2}}{2}$（O为原点），则两条渐近线的夹角为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 90°
• D． 60°

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，求出交点A的坐标，结合三角形的面积求出a，b的关系即可得到结论．

解答 解：双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，当x=$\frac{{a}^{2}}{c}$时，y═$\frac{{a}^{2}}{c}$×$\frac{b}{a}$=$\frac{ab}{c}$，
即A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），F（c，0），
则△OAF的面积S=$\frac{1}{2}•c•\frac{ab}{c}$=$\frac{{a}^{2}}{2}$，
即b=a，
则双曲线的渐近线为y=±x，
则渐近线互相垂直，则夹角为90°，
故选：C．

点评 本题主要考查双曲线的性质，根据条件求出渐近线方程是解决本题的关键．