Question

已知函数f（x）=cos（

π

4

x-

π

3

）+2cos²

π

8

x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若f（a）=1+

3

2

，a∈（0，5），A=

π

3

，b=1，求边c的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，化简函数解析式：f（x）=

3

sin（

π

4

x+

π

3

）+1，然后，直接确定函数的周期和最值即可；
（Ⅱ）利用条件f（a）=1+

3

2

，求解a的值，然后，借助于余弦定理求解边c的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos（

π

4

x-

π

3

）+2cos²

π

8

x
=

3

2

sin

π

4

x+

3

2

x+1
=

3

sin（

π

4

x+

π

3

）+1
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

π 4

=8，
最大值为

3

+1，最小值为-

3

+1，
（Ⅱ）∵f（a）=

3

sin（

π

4

x+

π

3

）+1=1+

3

2

，
∴sin（

π

4

a+

π

3

）=

1

2

．
∵a∈（0，5），
∴

π

4

a+

π

3

=

5π

6

，
得a=2，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=1+c²-c．
c²-c-3=0；
解得c=

1+ 13

2

（舍去c=

1- 13

2

）．

点评：本题综合考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质、二倍角公式、余弦定理等知识，属于中档题，难度中等．