Question

在棱长为2

3

的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，正方形BCC₁B₁所在平面内的动点P到直线D₁C₁、DC的距离之和为4，则

PC1

•

PC

的取值范围是

[-2，

1

4

]

．

Answer 1

分析：先将在面BCC₁B₁内动点P到直线D₁C₁、DC的距离转化为P到点C₁，C的距离，从而动点P到直线C₁、C的距离之和为4，由椭圆的定义即知P点的轨迹是一个椭圆．建立适当的直角坐标系，即可求出点P的轨迹方程；根据向量的坐标运算求出

PC1

，

PC

的坐标，再代入

PC1

•

PC

整理为关于x的函数，结合x的取值范围即可求出

PC1

•

PC

的取值范围．

解答：解：在面BCC₁B₁内到直线D₁C₁、DC的距离即为P到点C₁，C的距离，
故有面BCC₁B₁内的点P到直线C₁、C的距离之和为4，
由椭圆的定义即知点的轨迹是椭圆的一部分．
以CC₁所在的直线为x轴，线段CC₁的中心为坐标原点，建立直角坐标系，
则C（-

3

，0），C₁（

3

，0），
∴c=

3

，a=2，b=1．
设P（x，y），得椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

1

=1．
∴

PC1

=(

3

-x，-y)，

PC

=(-

3

-x，-y)

PC1

•

PC

=(

3

-x，-y)•(-

3

-x，-y)=x2-3+y2=

3

4

x2-2
由P在正方形BCC₁B₁所在平面内，
∴x∈[-

3

，

3

]，
故有

PC1

•

PC

∈[-2，

1

4

]．
故答案为：[-2，

1

4

]．

点评：本题主要考查了椭圆的定义及空间中距离的相互转化，解答的易错点是不会将空间中距离转化为一个平面上的距离，从而不会应用椭圆的定义．本题还主要考查平面向量数量积的运算，考查了运算能力．