Question

4．已知圆C的圆心在直线y=-4x上，且与直线x+y-1=0相切于点P（3，-2）．
（Ⅰ）求圆C方程；
（Ⅱ）是否存在过点N（1，0）的直线l与圆C交于E、F两点，且△OEF的面积是2$\sqrt{2}$（O为坐标原点）．若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y-1=0垂直的直线为y=x-5，与直线y=-4x联立，解得圆心为（1，-4），由此能求出圆的方程．
（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l方程为x=1，满足题意；当斜率存在时，设直线l的方程为 y=k（x-1），由点到直线距离公式结合已知条件推导出不存在这样的实数k．从而所求的直线方程为x=1．

解答 解：（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，即y=x-5．（1分）
与直线y=-4x联立，解得x=1，y=-4，
∴圆心为（1，-4），…（2分）
∴半径r=$\sqrt{（3-1）^{2}+（-2+4）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴所求圆的方程为（x-1）²+（y+4）²=8．…（4分）
（Ⅱ）①当斜率不存在时，此时直线l方程为x=1，
原点到直线的距离为d=1，
同时令x=1代入圆方程得y=-4$±2\sqrt{2}$，∴|EF|=4$\sqrt{2}$，
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}×1×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$满足题意，
此时方程为x=1．…（8分）
②当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），
圆心C（1，-4）到直线l的距离d=$\frac{4}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，…（9分）
设EF的中点为D，连接CD，则必有CD⊥EF，
在Rt△CDE中，DE=$\sqrt{8-{d}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{{k}^{2}-1}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴EF=$\frac{4\sqrt{2}•\sqrt{{k}^{2}-1}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，原点到直线l的距离=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，…（10分）
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}•$$\frac{4\sqrt{2}•\sqrt{{k}^{2}-1}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$•$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$，…（12分）
整理，得3k²+1=0，不存在这样的实数k．
综上所述，所求的直线方程为x=1．…（14分）

点评 本题考查圆的方程的求法，考查直线方程存在性的讨论及其求法，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．