Question

已知a>0，函数f(x)＝ax2－ln x.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)当a＝时，证明：方程f(x)＝f 在区间(2，＋∞)上有唯一解．

 

Answer 1

（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）见解析

【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－＝.

∵a>0，令f′(x)>0得x>；令f′(x)<0，得0<x<，

∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.

(2)证明：当a＝时，f(x)＝x2－ln x，由(1)知f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)，

令g(x)＝f(x)－f ，则g(x)在区间(2，＋∞)单调递增且g(2)＝f(2)－f <0，g(e2)＝－2－＋ln>0，

故方程f(x)＝f 在区间(2，＋∞)上有唯一解．