Question

17．根据我国相关法律规定，食品的含汞量不得超过1.00ppm，沿海某市对一种贝类海鲜产品进行抽样检查，抽出样本20个，测得含汞量（单位：ppm）数据如下表所示：

分组	（0，0.25]	（0.25，0.50]	（0.50，0.75]	（0.75，1]	（1，1.25]	（1.25，1.5]
数据	6	4	3	2	2	3

（1）若从这20个产品汇总随机抽取3个，求恰有一个含汞量超标的概率；
（2）以此20个产品的样本数据来估计这批贝类海鲜产品的总体，若从这批数量很大的贝类海鲜产品中任选3个，记ξ表示抽到的产品含汞量超标的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）从这20个产品汇总随机抽取3个基本事件总数n=${C}_{20}^{3}$，恰有一个含汞量超标包含的基本事件个数m=${C}_{5}^{1}{C}_{15}^{2}$．由此利用等可能事件概率计算公式能求出从这20个产品汇总随机抽取3个，求恰有一个含汞量超标的概率．
（2）这批贝类海鲜产品中含汞量超标的概率为P=$\frac{5}{20}$=$\frac{1}{4}$，抽到的产品含汞量超标的个数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{1}{4}$），由此能求出ξ的分布列及数学期望Eξ．

解答 解：（1）记“从这20个产品汇总随机抽取3个，恰有一个含汞量超标”为事件A，
则所求事件概率为：
P（A）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{15}^{2}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{35}{76}$．
（2）依题意，这批贝类海鲜产品中含汞量超标的概率为：
P=$\frac{5}{20}$=$\frac{1}{4}$，
抽到的产品含汞量超标的个数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{4}）^{0}（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{27}{64}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{27}{64}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）=\frac{9}{64}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}（\frac{3}{4}）^{0}$=$\frac{1}{64}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

Eξ=$0×\frac{27}{64}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．