Question

设f（x）=ax³+bx²+cx的极小值为-8，其导函数y=f′（x）的图象开口向下且经过点(-2，0)，(

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，0)．
（I）求f（x）的解析式；
（II）方程f（x）+p=0有唯一实数解，求实数P的取值范围．
（II）若对x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出y=f'（x），因为导函数图象经过（-2，0）和（

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，0），代入即可求出a、b、c之间的关系式，再根据图象可知函数的单调性，而f（x）极小值为-8可得f（-2）=-8，解出即可得到a、b、c的值；
（2）由（1）的结论，求出f（x）的极值，进而根据方程f（x）+p=0有唯一实数解，则函数f（x）的图象与直线y=-p有且只有一个交点，确定实数P的取值范围
（3）根据函数增减性求出函数在区间[-3，3]的最小值大于等于m²-14m，即可求出m的范围．

解答：解：（1）∵f'（x）=3ax²+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（-2，0），（

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，0），
∴

-2+ 2 3 =- 2b 3a -2• 2 3 = c 3a

 
解得

b=2a c=-4a

∴f（x）=ax³+2ax²-4ax，
∵y=f'（x）的图象开口向下
∴当x∈（-∞，-2）∪（

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，+∞）时，f'（x）＜0
当x∈（-2，

2

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）时，f'（x）＞0
∴函数y=f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，

2

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）上单调递增，在（

2

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，+∞）上单调递减，
由f（x）_极小值=f（-2）=a（-2）³+2a（-2）²-4a（-2）=-8，
解得a=-1
∴f（x）=-x³-2x²+4x
（2）由（1）得
当x=-2时，f（x）的极小值为-8，
当x=

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时，f（x）的极大值为

40

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，
若方程f（x）+p=0有唯一实数解，
则函数f（x）的图象与直线y=-p有且只有一个交点
则p＜-

40

27

，或p＞8
（3）要使对x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，
只需f（x）_min≥m²-14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[-3，2）上单调递减，在（-2，

2

3

）上单调递增，在（

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，3]上单调递减
且f（-2）=-8，f（3）=-3³-2×3²+4×3=-33＜-8
∴f（x）_min=f（3）=-33（11分）-33≥m²-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．

点评：考查学生会用待定系数法求函数的解析式，会利用导数求函数极值，理解函数恒成立时所取的条件．