Question

（2009•临沂一模）给出下列四个命题：
①“x（x-3）＜0成立”是“|x-1|＜2成立”的必要不充分条件；
②抛物线x=ay²（a≠0）的焦点为（0，

1

2a

）；
③函数f（x）=ax²-lnx的图象在x=1处的切线平行于y=x，则（

2

2

，+∞）是f（x）的单调递增区间；
④a

2

3

=

4

9

（a＞0），则log

2

3

a=3．
其中正确命题的序号是

③④

（请将你认为是真命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：①利用充分条件必要条件的定义进行判断．②利用抛物线的性质进行判断．③利用导数的几何意义以及导数的应用判断．④利用指数幂的运算和对数的运算进行求值．

解答：解：①由x（x-3）＜0得0＜x＜3，由|x-1|＜2得-2＜x-1＜2，解得-1＜x＜3，所以“x（x-3）＜0成立”是“|x-1|＜2成立”的充分不必要条件所以①错误．
②抛物线的标准方程为y2=

1

a

x=4×

1

4a

x，所以对应的焦点坐标为(

1

4a

，0)，所以②错误．
③函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′(x)=2ax-

1

x

，所以f'（1）=2a-1，因为函数f（x）=ax²-lnx的图象在x=1处的切线平行于y=x，
则f'（1）=2a-1=1，解得a=1，此时f（x）=x²-lnx，f′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，由f′(x)=

2x2-1

x

＞0，解得x＞

2

2

，即函数的单调增区间为（

2

2

，+∞），所以③正确．
④由a

2

3

=

4

9

（a＞0），得a=(

2

3

)3，所以log

2

3

a=log

2

3

(

2

3

)3=3，所以④正确．
故答案为：③④．

点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．