Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+1，x∈[{-1，0}]\\ \sqrt{1-{x^2}}，x∈（{0，1}]\end{array}\right.$，则$\int_{-1}^1$f（x）dx=$\frac{π}{4}+\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据积分的几何意义以及分段函数的积分公式进行求解即可．

解答 解：$\int_{-1}^1$f（x）dx=∫${\;}_{-1}^{0}$（x+1）dx+${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=（$\frac{1}{2}$x²+x）|${\;}_{-1}^{0}$+${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx
=0-（$\frac{1}{2}-1$）+${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx，
∵${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx的几何意义为以原点为圆心半径为1的圆的面积是$\frac{1}{4}$，
∴${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，
∴$\int_{-1}^1$f（x）dx=$\frac{π}{4}+\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{4}+\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查分段函数的积分的计算，根据积分的几何意义以及常见函数的积分公式是解决本题的关键．