Question

等比数列{cn}满足cn＋1＋cn＝10·4n－1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，且an＝log2cn.

(1)求an，Sn；

(2)数列{bn}满足bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，是否存在正整数m(m>1)，使得T1，Tm，T6m成等比数列？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）an＝2n－1，Sn＝n2.（2）存在正整数m＝2，使得T1，Tm，T6m成等比数列．

【解析】(1)因为c1＋c2＝10，c2＋c3＝40，所以公比q＝4，

由c1＋4c1＝10，得c1＝2，cn＝2·4n－1＝22n－1，

所以an＝log222n－1＝2n－1.

Sn＝a1＋a2＋…＋an＝log2c1＋log2c2＋…＋log2cn＝log2(c1·c2·…·cn)＝log2(21·23·…·22n－1)＝log22(1＋3＋…＋2n－1)＝n2.

(2)由(1)知bn＝，

于是Tn＝.

假设存在正整数m(m>1)，使得T1，Tm，T6m成等比数列，则

，整理得4m2－7m－2＝0，

解得m＝－或m＝2.

由m∈N*，m>1，得m＝2.

因此存在正整数m＝2，使得T1，Tm，T6m成等比数列．