Question

若（1-2x）⁵展开式中所有项的系数之和为m，（1+x³）（1-2x）⁶展开式中x⁵的系数为n，则m•n=

132

．

Answer 1

分析：通过赋值，求出m的值，然后根据题意，先求出（1-2x）⁶展开式的通项，分析可得（1+x³）（1-2x）⁶展开式中出现x⁵的项有两种情况，①，（1+x³）中出1，而（1-2x）⁶展开式中出x⁵项，②，（1+x³）中出x³项，而（1-2x）⁶展开式中出x²项，分别求出其系数，进而将求得的系数相加可得n，然后求解m•n的值．

解答：解：由题意x=1可得（1-2x）⁵展开式中所有项的系数之和为m=-1；
根据题意，（1-2x）⁶展开式的通项为T_r+1=C₆^r•（-2x）^r=（-1）^rC₆^r•2^rx^r，
则（1+x³）（1-2x）⁶展开式中出现x⁵的项有两种情况，
①，（1+x³）中出1，而（1-2x）⁶展开式中出x⁵项，其系数为1×（-1）⁵C₆⁵2⁵=-192，
②，（1+x³）中出x³项，而（1-2x）⁶展开式中出x²项，其系数为1×（-1）²C₆²2²=60，
则（1+x³）（1-2x）⁶展开式中x⁵的系数为：n=-192+60=-132；
所以m•n=132
故答案为：132．

点评：本题考查二项式定理的应用，解题的关键是由多项式的乘法分析其展开式中x⁵项出现的情况．