Question

（本小题12分）如图，四棱锥中，
侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.
(1)求与底面所成角的大小；
(2)求证：平面；
(3)求二面角的余弦值.

Answer 1

(1)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．
又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．
连结OA，则OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA与底面所成角．
∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=．
∴∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°．             
(2)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．
建立空间直角坐标系如图，则, ．
由M为PB中点，∴．
∴．
∴，
．
∴PA⊥DM，PA⊥DC．  ∴PA⊥平面DMC．                          
(3)．令平面BMC的法向量，
则，从而x+z=0； ……①, ，从而． ……②
由①、②，取x=?1，则．  ∴可取．
由(2)知平面CDM的法向量可取，
∴． ∴所求二面角的余弦值为－．
法二：（1）方法同上                              
（2）取的中点，连接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，则，又，则，即，
又在中，中位线，，则，则四边形为，所以，在中，，则，故而，
则
（3）由（2）知，则为二面角的平面角，在中，易得，，
故，所求二面角的余弦值为

解析