Question

6．已知函数f（x）=a•2^x-2^-x定义域为R的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
（3）若不等式f（9^x+1）+f（t-2•3^x+5）＞0在在R上恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的判定即可得出a的值；
（2）根据单调性的定义判断，得出f（x₁）-f（x₂）＜0；
（3）结合（2）的结论和奇函数的性质，不等式可转化为t＞-9^x+2•3^x-6，利用换元法和二次函数的知识求出右式的最小值即可．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x） 对任意x∈R恒成立，即a•2^-x-2^x=-（a•2^x-2^-x）．
即（a-1）（2^-x+2^x）=0，
∴a=1；                                   …（4分）
（2）f（x）为R上的增函数．下面证明：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{-{x}_{1}}$-（${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{-{x}_{2}}$）
=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）+$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$）
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）为R上的增函数．…（8分）
（3）∵不等式f（9^x+1）+f（t-2•3^x+5）＞0在R上恒成立
∴f（9^x+1）＞-f（t-2•3^x+5）=f[-（t-2•3^x+5）]=f（-t+2•3^x-5），
∵f（x）为R上的增函数
∴9^x+1＞-t+2•3^x-5，t＞-9^x+2•3^x-6，即t＞-（3^x-1）²-5
当3^x-1=0，即x=0时，-（3^x-1）²-5有最大值-5，
所以t＞-5…（12分）

点评 本题考查了函数奇偶性的判断，单调性的证明和恒成立问题的转化，奇偶性的应用，属于常规题型，应熟练掌握．