Question

（2013•肇庆一模）如图，PA垂直于⊙O所在平面ABC，AB为⊙O的直径，PA=AB=2，BF=

1

4

BP，C是弧AB的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAC；
（2）证明：CF⊥BP；
（3）求四棱锥C-AOFP的体积．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥平面ABC，得BC⊥PA，根据圆的性质得BC⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得到BC⊥平面PAC．
（2）根据C是半圆弧AB的中点，证出等腰三角形△ABC中OC⊥AB，结合平面PAB⊥平面ABC，得到BP⊥OC．设BP的中点为E，连结AE，利用三角形中位线定理，可得OF∥AE，由等腰三角形“三线合一”证出AE⊥BP，从而得到BP⊥OF，由线面垂直判定定理得到BP⊥平面CFO，从而得到CF⊥BP．
（3）根据题意，CO是三棱锥C-BFO的高且CO=1，算出△BOF的面积再结合锥体体积公式，得到VC-BFO=

1

12

，同样的方法算出三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=

2

3

，从而得到四棱锥C-AOFP的体积V=VP-ABC-VC-BFO=

7

12

．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PA．（1分）
∵∠ACB是直径所对的圆周角，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC．（2分）
又∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．（3分）
（2）∵PA⊥平面ABC，OC?平面ABC，
∴OC⊥PA．（4分）
∵C是半圆弧AB的中点，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
又∵O是AB的中点，∴OC⊥AB．（5分）
∵PA∩AB=A，PA、AB?平面PAB，
∴OC⊥平面PAB，
结合PB?平面PAB，可得BP⊥OC．（6分）
设BP的中点为E，连结AE，
则OF是△AEB的中位线，可得OF∥AE，
∵PA=AB，E为BP中点，∴AE⊥BP，可得BP⊥OF．（7分）
∵OC∩OF=O，OC、OF?平面CFO，∴BP⊥平面CFO．
又∵CF?平面CFO，∴CF⊥BP．（8分）
（3）由（2）知OC⊥平面PAB，
∴CO是三棱锥C-BFO的高，且CO=1．（9分）
又∵BF=

1

4

BP=

1

4

PA2+AB2

=

1

4

22+22

=

2

2

，
FO=

1

2

AE=

1

2

×

1

2

PB=

2

2

（10分）
∴VC-BFO=

1

3

S△BOF•CO=

1

3

×

1

2

BF•FO×1=

1

6

×

2

2

×

2

2

=

1

12

（11分）
又∵三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=

1

3

S△ABC•AP=

1

3

×

1

2

AB•CO•AP=

1

3

×

1

2

×2×1×2=

2

3

（12分）
∴四棱锥C-AOFP的体积V=VP-ABC-VC-BFO=

2

3

-

1

12

=

7

12

（13分）

点评：本题给出底面为直角三角形且一条侧棱过与底面垂直，求证线面垂直并求锥体的体积．着重考查了空间线面垂直的判定与性质、等腰三角形与圆的性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．