Question

（本小题满分12分）
已知椭圆的右焦点，且，设短轴的一个端点为，原点到直线的距离为，过原点和轴不重合的直线与椭圆相交于两点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且使得成立？若存在，试求出直线的方程；若不存在，请说明理由

Answer 1

（1） ；（2）存在满足条件的直线，且其方程为.

试题分析：（1）由椭圆的对称性知，又原点到直线的距离为，得.又，，
故椭圆的方程为： 
（2）显然当与轴垂直时不可能满足条件，
故设，代入椭圆方程得：
.
与椭圆于交于同的两点，设，
.
，，
，即，
，
解得.
为不同的点，，故.
存在满足条件的直线，且其方程为.
点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆、标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质。（II）小题中，运用平面向量的数量积，“化证为算”，达到证明目的。