Question

【题目】已知函数f（x）=aex﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由
（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=aex﹣x，得f′（x）=aex﹣1， 当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）=aex﹣x为R上的减函数；
当a＞0时，令aex﹣1=0，得x=lna，
若x∈（﹣∞，﹣lna），则f′（x）＜0，此时f（x）为的单调减函数；
若x∈（﹣lna，+∞），则f′（x）＞0，此时f（x）为的单调增函数．
综上所述，当a≤0时，f（x）=aex﹣x为R上的减函数；
当a＞0时，若x∈（﹣∞，﹣lna），f（x）为的单调减函数；
若x∈（﹣lna，+∞），f（x）为的单调增函数．
（Ⅱ）由题意，x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于aex﹣x≥e﹣x恒成立，
即x∈[1，2]， 恒成立．
令g（x）= ，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值．
由g（x）= = ，函数y= 在[1，2]上单调递减，
令h（x）= ，x∈[1，2]，h′（x）= ．
∴h（x）= 在x∈[1，2]上也是减函数，
∴g（x）在x∈[1，2]上也是减函数，
∴g（x）在[1，2]上的最大值为g（1）= ．
故x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立的实数a的取值范围是[ ，+∞）．
【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）=aex﹣x为R上的减函数；当a＞0时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（Ⅱ）x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于aex﹣x≥e﹣x恒成立，分离参数a，可得 恒成立．令g（x）= ，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值，然后利用导数求得函数g（x）在[1，2]上的最大值得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．