Question

6．已知$\frac{π}{4}＜x＜\frac{π}{2}$，cos（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）求sin（x+$\frac{π}{12}$）的值；
（Ⅱ）求$\frac{sin2x（1+tanx）}{1-tanx}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由cos（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$．可得：sin（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，利用sin（x+$\frac{π}{12}$）=sin[（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{3}$]由两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．
（Ⅱ）利用角的范围及诱导公式可求cos（x+$\frac{π}{4}$），sin（x+$\frac{π}{4}$），tan（x+$\frac{π}{4}$）的值，再利用两角和差的三角公式、诱导公式求值即可．

解答 解：∵$\frac{π}{4}＜x＜\frac{π}{2}$，可得：0＜x-$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$＜x+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
由cos（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$．可得：sin（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$．
∴cos（x+$\frac{π}{4}$）=cos（x-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{2}$）=-sin（x-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{3}{5}$，sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，tan（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{3}$．
（Ⅰ）sin（x+$\frac{π}{12}$）=sin[（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{3}$]=sin（x-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{3}$+cos（x-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}+\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$．
（Ⅱ）∴$\frac{sin2x（1+tanx）}{1-tanx}$=sin2x•$\frac{1+tanx}{1-tanx}$=-cos（2x+$\frac{π}{2}$）•tan（x+$\frac{π}{4}$）=-（2cos2（x+$\frac{π}{4}$）-1）×tan（x+$\frac{π}{4}$）=-（2×（-$\frac{3}{5}$）²-1）×（-$\frac{4}{3}$）=-$\frac{28}{75}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．