Question

已知直线L：kx-y-3k=0，圆M：x²+y²-8x-2y+9=0
（1）求证：直线L与圆M必相交；
（2）当圆M截L所得弦最短时，求k的值，并求L的直线方程．

Answer 1

分析：（1）有直线的方程可得直线L过定点A，而点A在圆M的内部，从而可得直线L与圆M必相交．
（2）由于当弦长最短时，AC和直线L垂直，求得直线l的斜率，再利用点斜式求得L的直线方程．

解答：解：（1）∵kx-y-3k=0，即y=k（x-3），显然它的图象经过定点A（3，0），而3²+0²-8×3-2×0+9=-6＜0，所以，点A（3，0）在圆M内，
所以：直线L与圆一定相交．
（2）由圆x²+y²-8x-2y+9=0得：（x-4）²+（y-1）²=8，它的圆心为C（4，1），由弦长最短，可得AC和直线L垂直，
故有：

1-0

4-3

•kl=-1，解得 k_l=-1，
∴直线l的方程为：y-0=-1（x-3），即 x+y-3=0．

点评：本题主要考查直线过定点问题，直线和圆的位置关系，用点斜式求直线的方程，属于中档题．