Question

已知函数f（x）=

x3

2x-1

，
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）求证：f（x）＞0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的定义域的求法，即可求f（x）的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可证明f（x）＞0．

解答： 解：（1）由2^x-1≠0，即2^x≠1，得x≠0，
所以函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
（2）因为f（1）=1，f（-1）=2，所以f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1），所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（3）由于函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
因为当x＞0时，2^x＞1，2^x-1＞0，x³＞0，所以f（x）＞0；
当x＜0时，0＜2^x＜1，2^x-1＜0，x³＜0，所以f（x）＞0．
综上知f（x）＞0．本题得证．

点评：本题主要考查函数性质的考查，要求熟练掌握函数的奇偶性，定义域和单调性的应用．