【题目】已知椭圆:过点,且它的焦距是短轴长的倍.
(1)求椭圆的方程.
(2)若,是椭圆上的两个动点(,两点不关于轴对称),为坐标原点,,的斜率分别为,,问是否存在非零常数,使当时,的面积为定值?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在这样的常数,此时.
【解析】
(1)将点的坐标代入椭圆方程,结合和列方程组,解方程组求得椭圆的标准方程.(2)设直线的方程为和两点的坐标,将两点两点坐标代入,化简得到①.联立直线的方程和椭圆方程,写出韦达定理,利用点到直线距离公式和弦长公式求得三角形的面积的表达式,结合①解得和的值.
解:(1)因为椭圆:过点,
所以,
又因为该椭圆的焦距是短轴长的倍,所以,从而.
联立方程组,解得,所以.
(2)设存在这样的常数,使,的面积为定值.设直线的方程为,点,点,则由知,,所以.①
联立方程组,消去得.
所以,
点到直线的距离,
的面积.④
将②③代入①得,
化简得,⑤
将⑤代入④得
,
要使上式为定值,只需,
即需,从而,此时,,
所以存在这样的常数,此时.
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【题目】2018年的政府工作报告强调,要树立绿水青山就是金山银山理念,以前所未有的决心和力度加强生态环境保护.某地科技园积极检查督导园区内企业的环保落实情况,并计划采取激励措施引导企业主动落实环保措施,下图给出的是甲、乙两企业2012年至2017年在环保方面投入金额(单位:万元)的柱状图.
(Ⅰ)分别求出甲、乙两企业这六年在环保方面投入金额的平均数;(结果保留整数)
(Ⅱ)园区管委会为尽快落实环保措施,计划对企业进行一定的奖励,提出了如下方案:若企业一年的环保投入金额不超过200万元,则该年不奖励;若企业一年的环保投入金额超过200万元,不超过300万元,则该年奖励20万元;若企业一年的环保投入金额超过300万元,则该年奖励50万元.
(ⅰ)分别求出甲、乙两企业这六年获得的奖励之和;
(ⅱ)现从甲企业这六年中任取两年对其环保情况作进一步调查,求这两年获得的奖励之和不低于70万元的概率.
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【题目】已知椭圆,为左焦点,为上顶点,为右顶点,若,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为.
(1)求的标准方程;
(2)是否存在过点的直线,与和交点分别是和,使得?如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知直线L: y=x+m与抛物线y2=8x交于A、B两点(异于原点),
(1)若直线L过抛物线焦点,求线段 |AB|的长度;
(2)若OA⊥OB ,求m的值;
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【题目】将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论
①AC⊥BD;
②△ACD是等边三角形;
③AB与平面BCD成60°的角;
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________
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【题目】根据某水文观测点的历史统计数据,得到某河流水位(单位:米)的频率分布直方图如下.将河流水位在,,,,,,各段内的频率作为相应段的概率,并假设每年河流水位变化互不影响.
(1)求未来4年中,至少有2年该河流水位的概率(结果用分数表示).
(2)已知该河流对沿河工厂的影响如下:当时,不会造成影响;当时,损失50000元;当时,损失300000元.为减少损失,工厂制定了三种应对方案.
方案一:不采取措施;
方案二:防御不超过30米的水位,需要工程费用8000元;
方案三:防御34米的最高水位,需要工程费用20000元.
试问哪种方案更好,请说明理由.
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【题目】在正方体中,点E是棱的中点,点F是线段上的一个动点.有以下三个命题:
①异面直线与所成的角是定值;
②三棱锥的体积是定值;
③直线与平面所成的角是定值.
其中真命题的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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【题目】已知椭圆C:的离心率为,且过点.
求椭圆的标准方程;
设直线l经过点且与椭圆C交于不同的两点M,N试问:在x轴上是否存在点Q,使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值?若存在,求出点Q的坐标及定值,若不存在,请说明理由.
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