Question

已知a为实数，函数f（x）=x3+ax2+

3

2

x+

3

2

a．
（1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；
（2）若f'（-1）=0，对任意x₁，x₂∈[-1，0]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导数，因为函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，所以导数等于0有实数解，利用判别式△＞0，即可求出a的范围．
（2）根据f'（-1）=0解出a的值，得到函数f（x）的解析式，因为对任意x₁，x₂∈[-1，0]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，所以对任意x₁，x₂∈[-1，0]，m大于等于|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，再用导数求出x∈[-1，0]时，f（x）的最大值和最小值，而|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min，就可求出m的范围．

解答：解：（1）∵f(x)=x3+ax2+

3

2

x+

3

2

a∴f′(x)=3x2+2ax+

3

2

．
由题意知f'（x）=0有实数解．∴△=4a2-4×3×

3

2

≥0
∴a2≥

9

2

，即a≤-

3 2

2

或a≥

3 2

2

．故a∈(-∞，-

3 2

2

]∪[

-3 2

2

，+∞)．
（2）∵f'（-1）=0∴3-2a+

3

2

=0即a=

9

4

.f′(x)=3x2+2ax+

3

2

=3(x+

1

2

)(x+1)，
令f'（x）=0得x1=-

1

2

， x2=-1．
当x∈[-1，0]时，f(-1)=

25

8

， f(-

1

2

)=

49

16

， f(0)=

27

8

∴f(x)max=f(0)=

27

8

， f(x)min=f(-

1

2

)=

49

16

．
故x₁，x₂∈[-1，0]时，|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=

5

16

所以m≥

5

16

，即m的最小值为

5

16

．

点评：本题主要考察了判断函数的切线斜率，以及利用导数求函数的最大值与最小值，属于导数的应用．