Question

8．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，若BC=2，AD=4，且∠ABD=∠ACD=60°，则四面体ABCD的体积的最大值是$\frac{4}{3}\sqrt{11}$．

Answer 1

分析 作BE⊥AD于E，连接CE，取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰三角形时几何体的体积最大，求解即可．

解答 解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，
取BC中点F，所以EF⊥BC，EF⊥AD，四面体ABCD的体积的最大值，只需EF最大即可，即需BE最大，
当△ABD是等腰三角形时BE最大，BE=CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4=2$\sqrt{3}$，所以EF=$\sqrt{12-1}$=$\sqrt{11}$，
故四面体ABCD的体积的最大值为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{11}×4$=$\frac{4}{3}\sqrt{11}$
故答案为：$\frac{4}{3}\sqrt{11}$．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．