Question

（理）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意非零的实数a，b∈R，满足f(a•b)=

f(b)

a

+

f(a)

b

，f(2)=

1

2

，an=

f(2n)

n

(n∈N*)，bn=2nf(2n)(n∈N*)，考查下列结论：
（1）f（1）=f（-1）；     （2）f（x）为偶函数；
（3）数列{a_n}为等比数列； （4）数列{b_n}为等差数列．
其中正确的是

 

．

Answer 1

分析：给a、b赋值，使它们都等于1，再使它们分别等于-1，1，得到结论（1）正确，把第三个条件两边同乘n化为整式形式，用第一个式子逐渐展开，得到等比数列，通过第二步整理，可得第三个结论正确．

解答：解：∵取a=b=1，可得f（1）=0，
取a=-1，b=1，可得f（-1）=0，
∴f（-1）=f（1），
即（1）正确，
∵f(a•b)=

f(b)

a

+

f(a)

b

，
∴f（2ⁿ）=f（2•2_n-1）
=

f(2n-1)

2

+

f(2)

2n-1

=

f(2n-1)

2

+

1

2n

=…
=

n

2n

，
∴an=

1

2n

，bn=n
∴（1），（3），（4）都正确，由已知不能判断函数的奇偶性，故（2）错误．
故答案为：（1），（3），（4）．

点评：这种题做起来易出错，使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题