Question

19．如图，已知E，F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点，现将正方形沿EF折成60°的二面角，则异面角直线AE与BF所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

Answer 1

分析 连接BD，由AE∥DF，知∠DFB即为异面直线FB与AE所成角，由此能求出异面角直线AE与BF所成角的余弦值．

解答 解：如图，连接BD，∵AE∥DF，
∴∠DFB即为异面直线FB与AE所成角
设正方形ABCD的边长为2，
则在△BDF中，
DF=1，BF=$\sqrt{5}$，BD=$\sqrt{1+1+4-2×1×1×cos60°}$=$\sqrt{5}$，
∴cos∠DFB=$\frac{D{F}^{2}+B{F}^{2}-B{D}^{2}}{2×DF×BF}$=$\frac{1+5-5}{2×1×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．