Question

（2013•长春一模）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为

BD

中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F，连接CE．
（1）求证：AG•EF=CE•GD；
（2）求证：

GF

AG

=

EF2

CE2

．

Answer 1

分析：（1）连接AB，由圆周角定理，及G为

BD

中点，可得∠GAD=∠FCE，∠CEF=∠ABC=90°，进而得到△CEF∽△AGD，根据相似三角形对应边成比例，可得AG•EF=CE•GD；
（2）由（1）可得∠DFG=∠CFE=∠ADG，故△AGD∽△DGF，根据相似三角形对应边成比例，可得

GF

DG

=

DG

AG

=

EF

CE

，进而

GF

AG

=

EF2

CE2

．

解答：证明（1）：已知AD为⊙M的直径，连接AB，
则∠BCE=∠BAE，∠CEF=∠ABC=90°，
由点G为弧BD的中点可知∠GAD=∠BAE=∠FCE，
故△CEF∽△AGD，所以有

CE

AG

=

EF

GD

，
即AG•EF=CE•GD．（5分）
（2）由（1）知∠DFG=∠CFE=∠ADG，
故△AGD∽△DGF，
所以

GF

DG

=

DG

AG

=

EF

CE

，
即

GF

AG

=

EF2

CE2

．（10分）

点评：本小题主要考查平面几何中三角形相似的判定与性质，以及圆中角的性质等知识．