Question

已知一次函数f（x）=kx+b的图象经过点（3，1），且g（x）=x•f（x）图象关于直线x=1对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x₀满足g(x0)+

1

2

＜0，试判断g（x₀+2）的符号．

Answer 1

分析：（1）根据一次函数f（x）=kx+b的图象经过点（3，1）可求出b与k的关系，根据g（x）=x•f（x）图象关于直线x=1对称可求出k与b的值；
（2）先求出g（x）的解析式，然后根据g(x0)+

1

2

＜0得x02-2x0+

1

2

＜0，从而可判断g（x₀+2）的符号．

解答：解（1）由已知3k+b=1…（4分）
∴b=1-3k（k≠0），∴f（x）=kx+1-3k，g（x）=kx²+（1-3k）x．
∵g（x）=x•f（x）图象关于直线x=1对称，
∴-

1-3k

2k

=1，…（7分）
∴k=1．∴f（x）=x-2．…（8分）
（2）由（1）g（x）=x²-2x，g(x0)+

1

2

＜0，即x02-2x0+

1

2

＜0…（12分）
所以2x0＞x02+

1

2

．
而g(x0+2)=(x0+2)2-2(x0+2)=x02+2x0＞x02+x02+

1

2

＞0．
即g（x₀+2）的符号为正号．…（14分）
注：（2）若由g(x0)+

1

2

=0得x0=

2± 3

2

给（4分），猜想出为正给（2分），其他方法相应给分．

点评：本题主要考查了二次函数的对称轴，以及函数值符号的判定，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．