Question

已知函数f（x）=

2-x

x+1

；
（1）判断函数f（x）在（-∞，-1）上的单调性，并给出证明；
（2）是否存在负数x₀，使得f（x₀）=3x0成立，若存在求出x₀；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先把f（x）化简，然后用定义给出证明；
（2）由f（x）的单调性求出f（x）在x∈（-∞，-1）∪（-1，0）上的值域，求出3^x在x∈（-∞，-1）∪（-1，0）上的值域，若两值域交集非空，则存在x₀，否则不存在．

解答：解：（1）f(x)=

3

x+1

-1，∴f（x）在（-∞，-1）上为减函数，
下面用定义给出证明：
设x₁＜x₂＜-1，则f(x1)-f(x2)=

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

，
∵x₂-x₁＞0，x₁+1＜0，x₂+1＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，-1）上为减函数．
（2）∵x₀＜0时，0＜3x0＜1，
由（1）知，f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上为减函数，
当x＜-1时，f（x）＜-1，当-1x＜0时，x＞2，故当x₀＜0时，f（x）＞2或f（x）＜-1，
故不存在负数x₀，使得f（x₀）=3x0成立．

点评：本题考查函数的单调性及其应用，注意体会定义在判断单调性中的应用．