Question

【题目】已知偶函数满足且，当时,，关于的不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围为（ ）

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

判断f（x）在（0，8）上的单调性，根据对称性得出不等式在一个周期（0，8）内有4个整数解，再根据对称性得出不等式在（0，4）上有2个整数解，从而得出a的范围．

当0＜x≤4时，f′（x）=，

令f′（x）=0得x=，

∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，4）上单调递减，

∵f（x）是偶函数，

∴f（x+4）=f（4﹣x）=f（x﹣4），

∴f（x）的周期为8，

∵f（x）是偶函数，且不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣200，200]上有且只有200个整数解，

∴不等式在（0，200）内有100个整数解，

∵f（x）在（0，200）内有25个周期，

∴f（x）在一个周期（0，8）内有4个整数解，

（1）若a＞0，由f2（x）+af（x）＞0，可得f（x）＞0或f（x）＜﹣a，

显然f（x）＞0在一个周期（0，8）内有7个整数解，不符合题意；

（2）若a＜0，由f2（x）+af（x）＞0，可得f（x）＜0或f（x）＞﹣a，

显然f（x）＜0在区间（0，8）上无解，

∴f（x）＞﹣a在（0，8）上有4个整数解，

∵f（x）在（0，8）上关于直线x=4对称，

∴f（x）在（0，4）上有2个整数解，

∵f（1）=ln2，f（2）==ln2，f（3）=，

∴f（x）＞﹣a在（0，4）上的整数解为x=1，x=2．

∴≤﹣a＜ln2，

解得﹣ln2＜a≤﹣．

故答案为：D