Question

【题目】设F1 ， F为椭圆C1： =1，（a1＞b1＞0）与双曲线C2的公共左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率e∈[ ， ]，则双曲线C2的离心率的取值范围是（ ）
A.[ ， ]
B.[ ，++∞）
C.（1，4]
D.[ ，4]

Answer 1

【答案】D
【解析】解：如图所示，设双曲线C2的离心率为e1 ．
椭圆与双曲线的半焦距为c．
由椭圆的定义及其题意可得：|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a﹣2c．
由双曲线的定义可得：2a﹣2c﹣2c=2a1 ， 即a﹣2c=a1 ，
∴ ﹣2= ，
∵e∈[ ， ]，∴ ∈[ ， ]，
∴ ∈[ ， ]．
∴e1∈[ ，4]．
故选：D．