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7.$\underset{lim}{x→4}$$\frac{{x}^{3}+x}{{x}^{4}+3{x}^{2}+1}$=$\frac{68}{305}$;$\underset{lim}{x→0}$$\frac{3-\sqrt{9-{x}^{2}}}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{6}$.

分析 $\underset{lim}{x→4}$$\frac{{x}^{3}+x}{{x}^{4}+3{x}^{2}+1}$=$\frac{{4}^{3}+4}{{4}^{4}+3×{4}^{2}+1}$=$\frac{68}{305}$,利用洛必达法则得$\underset{lim}{x→0}$$\frac{3-\sqrt{9-{x}^{2}}}{{x}^{2}}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{\frac{x}{\sqrt{9-{x}^{2}}}}{2x}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1}{2\sqrt{9-{x}^{2}}}$=$\frac{1}{6}$.

解答 解$\underset{lim}{x→4}$$\frac{{x}^{3}+x}{{x}^{4}+3{x}^{2}+1}$=$\frac{{4}^{3}+4}{{4}^{4}+3×{4}^{2}+1}$=$\frac{68}{305}$;
$\underset{lim}{x→0}$$\frac{3-\sqrt{9-{x}^{2}}}{{x}^{2}}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{\frac{x}{\sqrt{9-{x}^{2}}}}{2x}$
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1}{2\sqrt{9-{x}^{2}}}$=$\frac{1}{6}$.
故答案为:$\frac{68}{305}$,$\frac{1}{6}$.

点评 本题考查了极限的定义的应用及洛必达法则的应用.

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