Question

（2008•宁波模拟）已知函数f(x)=Asin(ωx+?)，(A＞0，ω＞0，0＜?＜

π

2

)图象关于点B(-

π

4

，0)对称，点B到函数y=f（x）图象的对称轴的最短距离为

π

2

，且f(

π

2

)=1．
（1）求A，ω，?的值；
（2）若0＜θ＜π，且f(θ)=

1

3

，求cos2θ的值．

Answer 1

分析：（1）先由对称中心到对称轴的最近距离为四分之一周期，知函数的周期为2π，由周期计算公式即可得ω的值，再由点B是函数的对称中心，代入函数解析式，结合φ的范围即可得φ值，最后由f（

π

2

）=1，得振幅A；
（2）先由两角和的正弦公式将f（θ）化为角θ的正弦与余弦的和，再利用同角三角函数基本关系式结合角θ的范围，计算θ角的正弦与余弦值之差，最后由二倍角公式计算cos2θ即可

解答：解：（1）∵点B到函数y=f（x）图象的对称轴的最短距离为

π

2

，且点B是函数f(x)=Asin(ωx+?)，(A＞0，ω＞0，0＜?＜

π

2

)的对称中心
∴

T

4

=

π

2

，∴T=2π
∴

2π

ω

=4×

π

2

=2π，
∴ω=1
又∵点B(-

π

4

，0)是函数f（x）的对称中心
∴f(-

π

4

)=Asin(-

π

4

+?)=0，
∴sin(?-

π

4

)=0
∵0＜?＜

π

2

，
∴-

π

4

＜?-

π

4

＜

π

4

，
∴?-

π

4

=0，
∴?=

π

4

又f(

π

2

)=Asin(

π

2

+

π

4

)=

2

2

A=1，
∴A=

2

∴A=

2

，ω=1，?=

π

4

（2）∵f（θ）=

2

sin(θ+

π

4

)=sinθ+cosθ=

1

3

∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=

1

9

∴2sinθcosθ=-

8

9

＜0，∵0＜θ＜π
∴sinθ＞0，
∴cosθ＜0
∴sinθ-cosθ=

(sinθ-cosθ) 2

=

1-2sinθcosθ

=

1+ 8 9

=

17

3

∴cos2θ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ）=

1

3

×（-

17

3

）=-

17

9

点评：本题考查了f(x)=Asin(ωx+?)，(A＞0，ω＞0，0＜?＜

π

2

)型三角函数的图象和性质，特别是参数求A，ω，?的意义及求法；同角三角函数基本关系式及三角变换公式的运用